Question

10．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x-1）²+y²=$\frac{1}{2}$，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为（2，θ），过点M斜率为1的直线交圆C于A，B两点．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）求|MA|•|MB|的范围．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圆C的极坐标方程．
（2）点M的直角坐标为（2cosθ，2sinθ），从而直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{x=2sinθ+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.，（t为参数）$，把直线参数方程代入圆C方程，得${t}^{2}+\sqrt{2}（2osθ+2sinθ-1）t+\frac{9}{2}-4cosθ=0$，由此利用根的判别式根据直线参数方程的几何意义能求出|MA|•|MB|的取值范围．

解答 解：（1）∵圆C的方程为（x-1）²+y²=$\frac{1}{2}$，即${x}^{2}+{y}^{2}-2x+\frac{1}{2}$=0，
∴由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得圆C的极坐标方程为：${ρ}^{2}-2ρcosθ+\frac{1}{2}=0$．
（2）∵点M的极坐标为（2，θ），∴点M的直角坐标为（2cosθ，2sinθ），
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{x=2sinθ+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.，（t为参数）$，
直线l与圆C交于A，B两点，把直线参数方程代入圆C方程，得：
${t}^{2}+\sqrt{2}（2osθ+2sinθ-1）t+\frac{9}{2}-4cosθ=0$，
$△=2（2cosθ+2sinθ-1）^{2}-4（\frac{9}{2}-4cosθ）＞0$，
解得0＜θ＜$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}＜θ＜\frac{3π}{2}$，
根据直线参数方程的几何意义得|MA|•|MB|=|t₁•t₂|=|$\frac{9}{2}-4cosθ$|，
∴|MA|•|MB|的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{17}{2}$）．

点评 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查线段乘积的求法，考查两点间距离公式的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．