Question

5．设满足一下两个条件的有穷数列a₁，a₂，…，a_n为n（n=2，3，4，…，）阶“梦想数列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）若某21阶“梦想数列”是递增等差数列，求该数列的通项公式；
（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为S_k（k=1，2，3，…，n），试证：|S_k|≤$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）结合已知新定义即可写出符合条件的数列；
（Ⅱ）设该21阶“期待数列”的公差为d，由题意可得，a₁+a₂+a₃+…+a₂₁=0，结合等差数列的求和公式可求a₁+a₂₁=0，从而可求得a₁₁=0，进而可得a₁₂=d，可求通项公式；
（Ⅲ）当k=n时，显然：|S_n|=0$≤\frac{1}{2}$成立； 当k＜n时，根据条件①得S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），从而可求|S_k|，再利用不等式的性质即可证明．

解答 解：（Ⅰ）数列-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$为三阶期待数列…（1分）
数列-$\frac{3}{8}$，-$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{3}{8}$为四阶期待数列，…（3分）
（Ⅱ）设该21阶“期待数列”的公差为d，
因为a₁+a₂+a₃+…+a₂₁=0，
∴a₁+a₂₁=0，
即a₁₁=0，
∴a₁₂=d，…（5分）
当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a₁₂+a₁₃+…+a₂₁=$\frac{1}{2}$
∴10d+45d=$\frac{1}{2}$，∴d=$\frac{1}{110}$（6分）
∴该数列的通项公式为a_n=a₁₁+（n-11）d=$\frac{n-11}{110}$（n∈N^*且n≤2013）．…（8分）
（Ⅲ）当k=n时，显然：|S_n|=0$≤\frac{1}{2}$成立； …（9分）
当k＜n时，根据条件①得S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），…（10分）
即|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|=|a_k+1+a_k+2+…+a_n|，…（11分）
∴2|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|+|a_k+1+a_k+2+…+a_n|=1
∴|S_k|≤$\frac{1}{2}$（14分）

点评 本题以新定义为载体主要考查了数列的通项及求和公式的应用，解答本题的关键是具备一定的逻辑推理的运算的能力