Question

13．在平面直角坐标系xOy中，设A，B，C是圆x²+y²=1上相异三点，若存在正实数λ，? 使得 $\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，则λ²+（?-3）²的取值范围是（　　）

• A． [0，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． （2，8）
• D． （8，+∞）

Answer 1

分析 B，O，C三点不可能在同一直线上，从而$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}$=cos∠BOC∈（-1，1），推导出${λ}^{2}=1+{μ}^{2}-2μ\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}$，记f（μ）=λ²+（μ-3）²．则f（μ）=2${μ}^{2}-6μ-2μ\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}+10$，由此能求出λ²+（?-3）²的取值范围．

解答 解：∵A，B，C是圆x²+y²=1上相异三点，∴依题意B，O，C三点不可能在同一直线上，
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OC}$|•|$\overrightarrow{OB}$|cos∠BOC=cos∠BOC∈（-1，1），
又∵存在正实数λ，? 使得 $\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，∴$λ\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-μ\overrightarrow{OB}$，
∴${λ}^{2}=1+{μ}^{2}-2μ\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}$，
记f（μ）=λ²+（μ-3）²．
则f（μ）=1+μ²-2$μ\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}$+（μ-3）²=2${μ}^{2}-6μ-2μ\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}+10$，
∴f（μ）＞2μ²-8μ+10=2（μ-2）²+2≥2，且f（μ）＜2μ²-4μ+10=2（μ-1）²+8 无最大值，
故λ²+（?-3）²的取值范围是（2，+∞）．

点评 本题考查代数式的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的方程、直线方程、向量的数量积的性质的合理运用．