Question

8．若数列{a_n}满足：对任意的n∈N^*，只有有限个正整数m使得a_m＜n成立，记这样的m 的个数为（a_n）^*，若将这些数从小到大排列，则得到一个新数列{（a_n）^*}，我们把它叫做 数列{a_n}的“星数列”．已知对于任意的n∈N^*，a_n=n²给出下列结论：
①数列{ $\frac{{a}_{n}}{n}$}^*的“星数列”的前100之和为5050；
②（a₅）^*=2；
③数列（a_n）^*的前n²项和为2n²-3n+1；
④{a_n}的“星数列”的“星数列”的通项公式为（（a_n）^*）^*=n²
以上结论正确的是②④．（请写出你认为正确的所有结论的序号）

Answer 1

分析 ①，数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是1，2，3…，n，…，则数列{（a_n）⁺}是0，1，2，…，n-1，数列{ $\frac{{a}_{n}}{n}$}^*的“星数列”的前100之和为0+1+2+…+99；
②，数列{n²}是1，4，9，16，…，只有a₁、a₂＜5，故（a₅）^*=2，
③，当n=4时，进行验证即可判定．
④，对任意的n∈N^*，a_n=n²，可得（a₁）*=0，（a₂）*=1=（a₃）*=（a₄）*，（a₅）*=2=…=（a₉）*，…，可得（（a₁）*）*=1，（（a₂）*）*=4，（（a₃）*）*=9，…，即可猜想出

解答 解：对于①，∵$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{{n}^{2}}{n}=n$，数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是1，2，3…，n，…，则数列{（a_n）⁺}是0，1，2，…，n-1，数列{ $\frac{{a}_{n}}{n}$}^*的“星数列”的前100之和为0+1+2+…+99≠5050，故错；
对于②，数列{n²}是1，4，9，16，…，只有a₁、a₂＜5，故（a₅）^*=2正确，
对于③，当n=4时，数列（a_n）^*的前16项分别为：0，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，3，其和不满足2n²-3n+1，故错
对于④，对任意的n∈N^*，a_n=n²，可得（a₁）*=0，（a₂）*=1=（a₃）*=（a₄）*，（a₅）*=2=…=（a₉）*，…，可得（（a₁）*）*=1，（（a₂）*）*=4，（（a₃）*）*=9，…，猜想（（a_n）^*）^*=n²．故正确．
故答案为：②④．

点评 本题考查了递推关系的应用、数列的通项公式，考查了数列的性质和应用，关键是对题意的理解．在选择题中合理地进行猜想，往往能有效地简化运算考查了猜想能力、计算能力，属于中档题