Question

20．若函数f（x）=[x³+3x²+（a+6）x+6-a]e^-x在区间（2，4）上存在极大值点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-32）
• B． （-∞，-27）
• C． （-32，-27）
• D． （-32，-27]

Answer 1

分析 f′（x）=[-x³-（9a+48）x+10a+48]e^-x，令h（x）=$\frac{{x}^{3}}{x-2}$+a，h′（x）=$\frac{{x}^{2}（2x-6）}{（x-2）^{2}}$，在（2，3）上单调递减，（3，4）上单调递增，则h′（4）=32+a＞0，h′（3）=27+a＜0，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：f′（x）=-（x-2）（$\frac{{x}^{3}}{x-2}$+a）e^-x
令h（x）=$\frac{{x}^{3}}{x-2}$+a，h′（x）=$\frac{{x}^{2}（2x-6）}{（x-2）^{2}}$，在（2，3）上单调递减，（3，4）上单调递增，
函数f（x）=[x³+3x²+（a+6）x+6-a]e^-x在区间（2，4）上存在极大值点，则h′（4）=32+a＞0，h′（3）=27+a＜0，
∴-32＜a＜-27
∴实数a的取值范围为（-32，-27）．
故选C．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．