Question

17．在△ABC中，sinA=$\frac{5}{13}$，cosB=$\frac{3}{5}$，求sinC的值．

Answer 1

分析 由题意、内角的范围、平方关系求出cosA和sinB的值，对A分类讨论后，分别由内角和定理、诱导公式、两角和的正弦函数求出sinC的值．

解答 解：在△ABC中，A，B，C∈（0，π），
∵$\left.\begin{array}{l}{sinA=\frac{5}{13}，cosB=\frac{3}{5}，}\end{array}\right.$
∴$\left.\begin{array}{l}{cosA=±\sqrt{1-si{n}^{2}A=}±\frac{12}{13}}\end{array}\right.$，$sinB=\sqrt{1-co{s}^{2}B}=\frac{4}{5}$，
①当$0＜A＜\frac{π}{2}$时，cosA=$\frac{12}{13}$，
所以$\left.\begin{array}{l}{sinC=sin[π-（A+B）]}\end{array}\right.$=sin（A+B）
=$\left.\begin{array}{l}{sinAcosB+cosAsinB}\end{array}\right.$
=$\left.\begin{array}{l}{\frac{5}{13}×\frac{3}{5}+\frac{12}{13}×\frac{4}{5}=\frac{63}{65}}\end{array}\right.$；
②当$\frac{π}{2}＜A＜π$时，cosA=-$\frac{12}{13}$，
所以sinC=sin（A+B）=$\left.\begin{array}{l}{sinAcosB+cosAsinB}\end{array}\right.$
=$\left.\begin{array}{l}{\frac{5}{13}×\frac{3}{5}-\frac{12}{13}×\frac{4}{5}=-\frac{33}{65}}\end{array}\right.$＜0，舍去，
综上可得，sinC的值是$\frac{63}{65}$．

点评 本题考查两角和的正弦函数，诱导公式、平方关系，以及内角和定理的应用，注意内角的范围，考查化简、计算能力．