Question

1．△ABC中，sin（A-B）=sinC-sinB，D是边BC的一个三等分点（靠近点B），记$\frac{sin∠ABD}{sin∠BAD}=λ$，则当λ取最大值时，tan∠ACD=2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由sin（A-B）=sinC-sinB，得sinB=2cosAsinB，cosA=$\frac{1}{2}$，可得：A=$\frac{π}{3}$，由已知得$\frac{AD}{DB}=λ，即AD=λDB=\frac{1}{3}λa$，利用${\overrightarrow{AD}}^{2}=（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）^{2}$和a²=b²+c²-bc可得λ取最值时，a、b、c间的数量关系．

解答 解：∵sin（A-B）=sinC-sinB，
∴sinAcosB-cosAsinB=sinC-sinB=sinAcosB+cosAsinB-sinB，
∴sinB=2cosAsinB，∵sinB≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，由A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{3}$，
在△ADB中，由正弦定理可将$\frac{sin∠ABD}{sin∠BAD}=λ$，变形为则$\frac{AD}{DB}=λ，即AD=λDB=\frac{1}{3}λa$，
∵$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}）=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}=（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）^{2}$即a²λ²=4c²+b²+2bc…①
在△ACB中，由余弦定理得：a²=b²+c²-bc…②
由①②得${λ}^{2}=\frac{4\frac{c}{b}+\frac{b}{c}+2}{\frac{c}{b}+\frac{b}{c}-1}$
令$\frac{c}{b}=t\\;（t＞0）$，${λ}^{2}=f（t）=\frac{4t+\frac{1}{t}+2}{t+\frac{1}{t}-1}=\frac{4{t}^{2}+2t+1}{{t}^{2}-t+1}$，f′（t）=$\frac{-6{t}^{2}+6t+3}{（{t}^{2}-t+1）^{2}}$，令f′（t）=0，得t=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
即$\frac{c}{b}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$时，λ最大．
结合②可得b=$（\sqrt{3}-1）c$，a=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$c
在△ACB中，由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$⇒$sinC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，⇒tanC=2+$\sqrt{3}$
故答案为：2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正余弦定理的应用，充分体现了函数、方程的思想，运算量较大，属于难题．