Question

10．设二次函数f（x）在区间[-1，4]上的最大值为12，且不等式f（x）＜0的解集为（0，5）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于x∈R，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求f（x）的解析式；（2）结合一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），
∴0，5是方程f（x）=0的两个根，且抛物线开口向上，
设f（x）=ax（x-5），a＞0．
则对称轴为x=$\frac{5}{2}$，
∵f（x）在区间[-1，4]上的最大值是12，
∴当x=-1时，函数取得最大值，
此时f（-1）=6a=12，解得a=2．
则f（x）=2x（x-5）．
（2）若对于x∈R，不等式f（x）＞m恒成立，
即m＜f（x）min，而f（x）=2x²-10x=2${（x-\frac{5}{2}）}^{2}$-$\frac{25}{4}$，
f（x）的最小值是-$\frac{25}{4}$，
故m＜-$\frac{25}{4}$．

点评 本题主要考查一元二次函数解析式的求解，以及一元二次函数最值的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．