Question

4．某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB=100米，宽BC=50$\sqrt{3}$米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE、HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．
（Ⅰ）设∠CHE=x（弧度），试将三条路的全长（即△HEF的周长）L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；
（Ⅱ）这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用（结果保留整数）（可能用到的参考值：$\sqrt{3}$取1.732，$\sqrt{2}$取1.414）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要将△HEF的周长L表示成x的函数关系式，需把△HEF的三边分别用含有x的关系式来表示，从而可求．
（Ⅱ）要求铺路总费用最低，只要求△HEF的周长L的最小值即可．利用换元法，从而转化为求函数在闭区间上的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵在Rt△CHE中，CH=50，∠C=90°，∠CHE=x，
∴HE=$\frac{50}{cosx}$
在Rt△HDF中，HD=50，∠D=90°，∠DFH=x，
∴HF=$\frac{50}{sinx}$．
又∠EOF=90°，
∴EF=$\frac{50}{sinxcosx}$，
∴三条路的全长（即△HEF的周长）L=$\frac{50（sinx+cosx+1）}{sinxcosx}$．
当点F在点D时，这时角x最小，求得此时x=$\frac{π}{6}$；
当点E在C点时，这时角x最大，求得此时x=$\frac{π}{3}$．
故此函数的定义域为[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]；
（Ⅱ）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长L的最小值即可．
由（Ⅰ）得L=$\frac{50（sinx+cosx+1）}{sinxcosx}$，x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
设sinx+cosx=t，则sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴L=$\frac{100}{t-1}$
由t=sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
得$\frac{\sqrt{3}+1}{2}≤t≤\sqrt{2}$，
从而$\sqrt{2}$+1≤$\frac{1}{t-1}$≤$\sqrt{3}$+1，当x=$\frac{π}{4}$，即CE=50时，L_min=100（$\sqrt{2}+1$），
所以当CE=DF=50米时，铺路总费用最低，最低总费用为96560元．

点评 本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数学知识解决实际问题的能力，及推理运算的能力．