Question

关于曲线C：（x-m）²+（y-2m）²=

n2

2

，有以下五个结论：
（1）当m=1时，曲线C表示圆心为（1，2），半径为

2

2

|n|的圆；
（2）当m=0，n=2时，过点（3，3）向曲线C作切线，切点为A，B，则直线AB方程为3x+3y-2=0； 
（3）当m=1，n=

2

时，过点（2，0）向曲线C作切线，则切线方程为y=-

3

4

（x-2）；
（4）当n=m≠0时，曲线C表示圆心在直线y=2x上的圆系，且这些圆的公切线方程为y=x或y=7x；
（5）当n=4，m=0时，直线kx-y+1-2k=0（k∈R）与曲线C表示的圆相离．
以上正确结论的序号为

（2）（4）

．

Answer 1

分析：根据圆的标准方程的概念，可得（1）不正确；根据圆的切点弦所在直线方程形式，可得（2）正确；根据过圆外一点可以作两条圆的切线，可得（3）不正确；根据圆心的轨迹方程、点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系得到（4）正确，根据直线当n=4，m=0时，直线kx-y+1-2k=0经过圆C内部一点，可得（5）不正确．

解答：解：对于（1），当m=1时，曲线C：（x-1）²+（y-2）²=

n2

2

，
当n≠0时，表示圆心为（1，2），半径为

2

2

|n|的圆．
但条件中缺少了n≠0，故（1）不正确；
对于（2），当m=0，n=2时，曲线C：x²+y²=2，表示圆心在原点半径为

2

的圆
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得
∵经过点A的圆的切线为x₁x+y₁y=2，经过点B的圆的切线为x₂x+y₂y=2，
∴由点（3，3）分别在两条切线上，有3x₁+3y₁=2且3x₂+3y₂=2成立
可得经过A、B的直线方程为3x+3y=2，即3x+3y-2=0．故（2）正确；
对于（3），当m=1，n=

2

时，曲线C：（x-1）²+（y-2）²=1，
表示圆心在原（1，2），半径为1的圆
过点（2，0）向曲线C作切线，切线方程为y=-

3

4

（x-2）和x=2，
有两条切线，故（3）不正确；
对于（4），当n=m≠0时，因为圆C的圆C（m，2m）满足y=2x
且直线x-y=0和y-7x=0都满足C到直线的距离恰好等于圆的半径

2

2

|n|
故曲线C表示圆心在直线y=2x上的圆系，且这些圆的公切线方程为y=x或y=7x，得（4）正确；
对于（5），当n=4，m=0时，曲线C：x²+y²=8，表示圆心在原点半径为2

2

的圆
直线kx-y+1-2k=0经过定点（2，1），恰好为圆内一点
故圆C必定与直线相交，故（5）不正确
故答案为：（2）（4）

点评：本题给出含有参数的圆方程，判断关于圆方程的几个结论的正确性．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识点，属于中档题．