Question

已知函数f（x）=log 

1

2

（x+1-

a

x

）在[1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：令t（x）=x+1-

a

x

，则函数t在[1，+∞）上单调递增，且t（x）在[1，+∞）上为正实数；再分a=0、a＞0、a＜0三种情况，分别求得a的范围，再取并集，即得所求．

解答： 解：∵函数f（x）=log 

1

2

（x+1-

a

x

）在[1，+∞）上单调递减，
令t（x）=x+1-

a

x

，则函数t在[1，+∞）上单调递增，且t（x）在[1，+∞）上为正实数．
当a=0 时，f（x）=log 

1

2

（x+1）在[1，+∞）上单调递减，满足条件．
当a＞0时，由t（1）=1+1-a＞0，解得0＜a＜2．
当a＜0时，由t（x）=x+1-

a

x

在[

-a

，+∞）上单调递增，可得

-a

≤1，解得 a≥-1．
综上可得，实数a的取值范围是[-1，2），
故答案为：[-1，2）．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．