Question

设F₁、F₂分别是椭圆+y²=1的左、右焦点.

(1)若P是该椭圆上的一个动点,求·的最大值和最小值;

(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.

Answer 1

解:(1)由已知得a=2,b=1,c=,

∴F₁(-,0),F₂(,0).

设P(x,y),则

·=(--x,-y)·(3-x,-y)

=x²+y²-3

=x²+(1)-3=(3x²-8).

∵x∈［-2,2］,

∴当x=0时,即点P为椭圆短轴端点时,·有最小值-2;

当x=±2时,即点P在椭圆长轴端点时,·有最大值1.

(2)显然直线x=0不满足题意,故设l:y=kx+2,

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

由(k²+)x²+4kx+3=0.

∴x₁+x₂= ,x₁x₂=.

由Δ=(4k)²-4(k²+)×3=4k²-3＞0,

得k＜或k＞.① 

又∠AOB为锐角cos∠AOB＞0·＞0,

即·=x₁x₂+y₁y₂＞0.

而y₁y₂=(kx₁+2)(kx₂+2)=k²x₁x₂+2k(x₁+x₂)+4

=+4=.

∴x₁x₂+y₁y₂=…=＞0.

∴4-k²＞0,即-2＜k＜2.② 

由①②得k的取值范围为(-2,)∪(,2).