Question

已知函数f(x)=

-(x-1)2，(x＜1) (3-a)x+4a，(x≥1)

为增函数，则实数a的取值范围是

-1≤a＜3

．

Answer 1

分析：根据分段函数单调性的定义可知，必须保证每个函数单调递增，且当x=1时，f（1）≥0，解不等式即可．

解答：解：∵当x＜1时，函数f（x）=-（x-1）²为增函数，且此时f（x）＜0．
∴要使f（x）在R上是增函数，则当x≥1时，f（x）=（3-a）x+4a，为增函数，
且此时函数f（x）的最小值f（1）≥0，（如图）
即

3-a＞0 f(1)≥0

，
即

a＜3 3-a+4a≥0

，
∴

a＜3 a≥-1

，解得-1≤a＜3．
故答案为：-1≤a＜3．

点评：本题主要考查分段函数的单调性的性质的应用，分段函数递增要求每个函数都必须满足单调递增，且在端点处数值大小也存在相应的大小关系．