Question

设数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20，数列{b_n}的前n项和为S_n，b₁=

2

3

且3S_n=S_n-1+2（n≥2，n∈N）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，n=1，2，3，…，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的性质，求出首项和公差，由此能求出a_n=3n-1．由3S_n=S_n-1+2（n≥2，n∈N），得3S_n=S_n-b_n+2，即b_n=2-2S_n，由此能求出b_n=2•

1

3n

．
（Ⅱ）由c_n=a_n•b_n=2（3n-1）•

1

3n

，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20，公差d=

1

2

（a₇-a₅）=3，
∴a₁+4×3=14，解得a₁=2，
∴a_n=2+（n-1）×3=3n-1．
由3S_n=S_n-1+2（n≥2，n∈N），得3S_n=S_n-b_n+2，即b_n=2-2S_n，
∴b₂=2-（b₁+b₂），又b₁=

2

3

，∴b₂=

2

9

，

b2

b1

=

2 9

2 3

=

1

3

，
由3S_n=S_n-1+2，当n≥3时，得3S_n-1=S_n-2+2，
两式相减得：3（S_n-S_n-1）=S_n-1-S_n-2，即3b_n=b_n-1，
∴

bn

bn-1

=

1

3

（n≥3）
又

b2

b1

=

1

3

，∴{b_n}是以b₁=

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，于是b_n=2•

1

3n

．
（Ⅱ）c_n=a_n•b_n=2（3n-1）•

1

3n

，
∴T_n=2[2×

1

3

+5×

1

32

+8×

1

33

+…+（3n-1）×

1

3n

]，

1

3

T_n=2[2×

1

32

+5×

1

33

+…+（3n-4）×

1

3n

+（3n-1）×

1

3n+1

]，
两式相减得

2

3

T_n=2[3×

1

3

+3×

1

32

+3×

1

33

+…+3×

1

3n

-

1

3

-（3n-1）×

1

3n+1

]
=2[1+

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n-1

-

1

3

-（3n-1）×

1

3n+1

]
=2×

1- 1 3n

1- 1 3

-2×

1

3

-（3n-1）×

1

3n+1

=

7

3

-

3

3n

-

3n-1

3n+1

，
∴T_n=

7

2

-

n+9

3n

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．