Question

2．已知三棱锥A-BCD中，AB⊥面BCD，△BCD为边长为2的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为$\frac{28}{27}\sqrt{21}$π．

Answer 1

分析 由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△BCD为底面以AB为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，可得球的半径R，即可求出三棱锥的外接球体积．

解答 解：根据已知中底面△BCD是边长为2的正三角形，AB⊥面BCD，
可得此三棱锥外接球，即为以△BCD为底面以AB为高的正三棱柱的外接球
∵△BCD是边长为2的正三角形，
∴△BCD的外接圆半径r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，球心到△BCD的外接圆圆心的距离d=1
故球的半径R=$\sqrt{\frac{4}{3}+1}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
∴三棱锥的外接球体积为$\frac{4}{3}π•（\frac{\sqrt{21}}{3}）^{3}$=$\frac{28}{27}\sqrt{21}$π．
故答案为：$\frac{28}{27}\sqrt{21}$π．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，考查三棱锥的外接球体积，正确求出球的半径是解答的关键．