Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，过顶点A（0，1）的直线L与椭圆C相交于两点A，B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点M在椭圆上且满足

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

，求直线L的斜率k的值．

Answer 1

（1）由e=

c

a

=

3

2

，b=1，a²=1+c²，解得a=2，
故椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n）．
联立 

y=kx+1 x2 4 +y2=1

，消去y解得 （1+4k²）x²+8kx=0，
因为直线l与椭圆C相交于两点，所以△=（8k）²＞0，
所以x₁+x₂=-

8k

1+4k2

，x₁×x₂=0，
∵

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

，∴

m= 1 2 (x1+ 3 x2) n= 1 2 (y1+ 3 y2)

点M在椭圆上，则m²+4n²=4，
∴

1

4

(x1+

3

x2)2+(y1+

3

y2)2=4，化简得
x₁x₂+4y₁y₂=x₁x₂+4（kx₁+1）（kx₂+1）=（1+4k²）x₁x₂+4k（x₁+x₂）+4=0，
∴4k•（-

8k

1+4k2

）+4=0，解得k=±

1

2

．
故直线l的斜率k=±

1

2

．