Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．

（1）证明：CD⊥平面PAE；
（2）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

Answer 1

【答案】
（1）

解法一：连接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，

又AD=5，E是CD得中点，

所以CD⊥AE，

PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD．

所以PA⊥CD，

而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，

所以CD⊥平面PAE．

解法二：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系，

设PA=h，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，5，0），E（2，4，0），P（0，0，h）．

=（﹣4，2，0）， =（2，4，0）， =（0，0，h）．

因为 =﹣8+8+0=0， =0．

所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，

所以CD⊥平面PAE．

（2）

法一：过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，

由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE．

由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角．

由题意∠PBA=∠BPF，因为sin∠PBA= ，sin∠BPF= ，所以PA=BF．

由∠DAB=∠ABC=90°知，AD∥BC，又BG∥CD．

所以四边形BCDG是平行四边形，

故GD=BC=3，于是AG=2．

在RT△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF，

所以BG= =2 ，BF= = = ．

于是PA=BF= ．

又梯形ABCD的面积为S= ×（5+3）×4=16．

所以四棱锥P﹣ABCD的体积为V= ×S×PA= ×16× = ．

法二：由题设和第一问知， ， 分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，

而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，

所以：|cos＜ ， ＞|=|cos＜ ， ＞|，即| |=| |．

由第一问知 =（﹣4，2，0）， =（（0，0，﹣h），又 =（4，0，﹣h）．

故| |=| |．

解得h= ．

又梯形ABCD的面积为S= ×（5+3）×4=16．

所以四棱锥P﹣ABCD的体积为V= ×S×PA= ×16× = ．

【解析】法一：（1）先根据条件得到CD⊥AE；再结合PA⊥平面ABCD即可得到结论的证明；（2）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA=BF，进而得到四边形BCDG是平行四边形，在下底面内求出BF的长以及下底面的面积，最后代入体积计算公式即可．
法二：（1）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而得到 =0以及 =0．即可证明结论；（2）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA的长，再求出下底面面积，最后代入体积计算公式即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则