Question

已知二次函数，，的最小值为．
⑴求函数的解析式；
⑵设，若在上是减函数，求实数的取值范围；
⑶设函数，若此函数在定义域范围内不存在零点，求实数的取值范围.[

Answer 1

（1）；（2）；（3）。

解析试题分析：(1)由可设，再由的最小值求a的值；（2）首先对
二次项系数分、、三种情况讨论，然后确定对称轴与给定区间
端点的关系；（3）要满足题意，须有有解，且无解.然后求
的最小值，令，但不属于的值域，即可得实数的取值范围。
⑴ 由题意设，
∵的最小值为， ∴，且， ∴ ，
∴ .
⑵ ∵，
①当时，在[-1, 1]上是减函数，∴ 符合题意.
② 当时，对称轴方程为：，
ⅰ）当，即 时，抛物线开口向上，
由，  得  ， ∴；
ⅱ）当， 即时，抛物线开口向下，
由，得 ， ∴.
综上知，实数的取值范围为.
⑶法一：∵ 函数在定义域内不存在零点，必须且只须有
有解，且无解.
∴，且不属于的值域，
又∵，
∴的最小值为，的值域为，
∴，且
∴的取值范围为.
法二：，令，
必有，得，
因为函数在定义域内不存在零点，，
得，即，又（否则函数定义域为空集，不是函数），
的取值范围是。
考点：（1）待定系数法求函数的解析式；（2）二次项系数及二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论；（3）构造函数研究函数的零点个数。