已知二次函数,
,
的最小值为
.
⑴求函数的解析式;
⑵设,若
在
上是减函数,求实数
的取值范围;
⑶设函数,若此函数在定义域范围内不存在零点,求实数
的取值范围.[
(1);(2)
;(3)
。
解析试题分析:(1)由可设
,再由
的最小值
求a的值;(2)首先对
二次项系数分、
、
三种情况讨论,然后确定对称轴
与给定区间
端点的关系;(3)要满足题意,须有
有解,且
无解.然后求
的最小值,令
,但
不属于
的值域,即可得实数
的取值范围。
⑴ 由题意设,
∵的最小值为
, ∴
,且
, ∴
,
∴ .
⑵ ∵,
①当时,
在[-1, 1]上是减函数,∴
符合题意.
② 当时,对称轴方程为:
,
ⅰ)当,即
时,抛物线开口向上,
由, 得
, ∴
;
ⅱ)当, 即
时,抛物线开口向下,
由,得
, ∴
.
综上知,实数的取值范围为
.
⑶法一:∵ 函数在定义域内不存在零点,必须且只须有
有解,且
无解.
∴,且
不属于
的值域,
又∵,
∴的最小值为
,
的值域为
,
∴,且
∴的取值范围为
.
法二:,令
,
必有,得
,
因为函数在定义域内不存在零点,
,
得,即
,又
(否则函数定义域为空集,不是函数),
的取值范围是
。
考点:(1)待定系数法求函数的解析式;(2)二次项系数及二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论;(3)构造函数研究函数的零点个数。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产万件,需另投入的成本为
(单位:万元),当年产量小于80万件时,
;当年产量不小于80万件时,
.假设每万件该产品的售价为50万元,且该厂当年生产的该产品能全部销售完.
(1)写出年利润(万元)关于年产量
(万件)的函数关系式;
(2)年产量为多少万件时,该厂在该产品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元,某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨.
(1)求y关于x的函数;
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知二次函数,不等式
的解集为
.
(1)求的解析式;
(2)若函数在
上单调,求实数
的取值范围;
(3)若对于任意的x∈[-2,2],都成立,求实数n的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域.
(2)求f(x)在区间上的最大值.
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