Question

设函数f（x）=ax²+8x+3（a＜0），对于给定的负实数a，有一个最大正数l（a），使得
x∈[0，l（a）]时，不等式|f（x）|≤5都成立．
（1）当a=-2时，求l（a）的值；
（2）a为何值时，l（a）最大，并求出这个最大值，证明你的结论．

Answer 1

分析：由题意（1）由于a=-2，代入函数f（x）=ax²+8x+3（a＜0），使得f（x）的解析式具体，画出图形即可；
（2）由题意及二次函数为开口向下的要使x∈[0，l（a）]时，不等式|f（x）|≤5都成立，利用分类讨论的思想可以求解．

解答：解：（1）当a=-2，f（x）=-2x²+8x+3最大值11，
令|f（x）|=5只须考虑-2x²+8x+3=5
得x=2±

3

．如图，l（a）=2-

3

．
（2）f（x）=ax²+8x+3，
∵a＜0，对称轴x=-

4

a

＞0，f（x）的最大值

4×3•a-64

4a

=

3a-16

a

，
当

3a-16

a

＞5即a＞-8时，取x²+8x+3=5得x=

-4± 16+2a

a

．
如图l(a)=

-4+ 16+2a

a

=

2

16+2a +4

＜

1

2

，
当

3a-16

a

≤5即a≤-8时，
取-（ax²+8x+3）=5得x=

-4± 16-8a

a

，
取l(a)=

-4- 16-8a

a

=

8

16-8a -4

≤

8

80 -4

=

5 +1

2

（当a=-8时取等号）
∴当a=-8时，l（a）最大，最大值是

5 +1

2

．

点评：此题考查了二次函数在闭区间上的最值，还考查了分类讨论的思想及无理不等式的求解．