Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

25-a2

=1(a＞0)的左右两焦点分别为F₁，F₂，P是双曲线右支上的一点，Q点满足

PQ

•|

PF1

|=

PF1

•|

PF2

|，

F1F2

在

F1P

上的投影的大小恰为|

F1P

|，且它们的夹角为

π

6

，则a等于（　　）

• A．

  5 3 -5

  2

• B．

  5 3 +5

  2

• C．

  5 2 +5

  2

• D．

  5 2 -5

  2

Answer 1

分析：由于Q点满足

PQ

•|

PF1

|=

PF1

•|

PF2

|，

F1F2

在

F1P

上的投影的大小恰为|

F1P

|，可求得∠F1PF2=

π

2

，进而利用双曲线的定义，可求a

解答：解：因为

PQ

•|

PF1

|=

PF1

•|

PF2

|，所以

PQ

，

PF1

是一对同向向量，且|

PQ

|=|

PF2

|．
又因为

F1F2

在

F1P

上的投影的大小恰为|

F1P

|，
所以∠F1PF2=

π

2

．
在Rt△F₁PF₂中，∠PF1F2=

π

6

，|F1F2|=10，|PQ|=5．又|F₁Q|=|PF₁|-|PQ|=2a，
所以2a=5

3

-5，所以a=

5 3 -5

2

，
故选A

点评：本题的考点是双曲线的简单性质，主要考查双曲线的几何量的求解，关键是将向量的知识转化为数量关系．