Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）在上R恒有f′(x)＜

1

2

，则不等式f(x)＜

x

2

+

1

2

的解集为（　　）

A．（1，+∞）

B．（-∞，1）

C．（-1，1）

D．（-∞，1）∪（1，+∞）

Answer 1

f(x)＜

x

2

+

1

2

可化为f（x）-

x

2

-

1

2

＜0，
令g（x）=f（x）-

x

2

-

1

2

，则g′（x）=f′（x）-

1

2

，
因为f′(x)＜

1

2

，所以g′（x）＜0，所以g（x）在R上单调递减，
当x＞1时，g（x）＜g（1）=f（1）-

1

2

-

1

2

=0，即f（x）＜

x

2

+

1

2

．
所以不等式f(x)＜

x

2

+

1

2

的解集为（1，+∞）．
故选A．