Question

（2012•台州一模）已知函数f（x）=kx，g(x)=

t

x2

-1，k为非零实数．
（Ⅰ）设t=k²，若函数f（x），g（x）在区间（0，+∞）上单调性相同，求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在正实数k，都能找到t∈[1，2]，使得关于x的方程f（x）=g（x）在[1，5]上有且仅有一个实数根，且在[-5，-1]上至多有一个实数根．若存在，请求出所有k的值的集合；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函数g（x）的导数，利用f（x），g（x）在区间（0，+∞）上单调性相同，建立一个条件方程，然后求k的取值范围．
（Ⅱ）利用f（x）=g（x），构造新函数h（x）=f（x）-g（x）=kx³+x²-t，然后求导，利用导数研究函数根的分布情况．

解答：解：（Ⅰ） （1）当k＞0时，因为f（x）=kx在（0，+∞）上单调递增，…（1分）
所以g(x)=

t

x2

-1在（0，+∞）上单调递增．
但在（0，+∞）上g′(x)=-

2t

x3

=-

2k2

x3

＜0，所以不符合已知；…（3分）
（2）因为在（0，+∞）上g′(x)=-

2t

x3

=-

2k2

x3

＜0，所以g(x)=

t

x2

-1在（0，+∞）上单调递减．
所以f（x）=kx在（0，+∞）上单调递减，则k＜0，即 k的取值范围是（-∞，0）．…（6分）
（Ⅱ）解：因为f（x）=g（x）?kx³+x²-t=0．   …（7分）
设h（x）=kx³+x²-t，所以h′(x)=3kx2+2x=0⇒x=0或-

2

3k

．
因为k＞0，所以h（x）在(-∞，-

2

3k

)↑，(-

2

3k

，0)↓，(0，+∞)↑，
而h（0）=-t＜0，所以h（x）=0在[1，5]上至多一个实数根，在[-5，-1]上至多
有二个实数根．                         …（9分）
（1）由于k＞0，要能找到t∈[1，2]，使得关于x的方程h（x）=0在[1，5]上有且仅有一个实数根，必须存在t∈[1，2]，使得：

h(1)≤0 h(5)≥0

?

k≤t-1 125k≥t-25

?0＜k≤1；          …（11分）
（2）因为“能找到t∈[1，2]，使得关于x的方程h（x）=0在[-5，-1]上至多有一个实数
根”的反面是“对任意的t∈[1，2]，使得关于x的方程h（x）=0在[-5，-1]上恰有
二个实数根”，即反面?对任意的t∈[1，2]，下列不等式组成立．

-5≤- 2 3k ≤-1 h(-5)≤0 h(-1)≤0 h(- 2 3k )＞0

?

24

125

≤k＜

6

9

．…（13分）
因为k＞0，所以，“能找到t∈[1，2]，使得关于x的方程h（x）=0在[-5，-1]上至
多有一个实数根”?0＜k＜

24

125

或

6

9

≤k＜+∞．…（14分）
由（1）（2）同时成立得：0＜k＜

24

125

或

6

9

≤k≤1．
所以，存在正实数k符合要求，所有k的值的集合为：
{k|0＜k＜

24

125

或

6

9

≤k≤1}．    …（15分）
（直接讨论、或讨论函数f（x）=kx，g(x)=

t

x2

-1的图象的关系或变量分离转化
为三次函数讨论，请酌情给分）

点评：本题考查利用导数研究函数的性质，对应两个函数的相等问题，则一般需要构造新函数去研究．