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(2012•台州一模)已知函数f(x)=kx,g(x)=
tx2
-1
,k为非零实数.
(Ⅰ)设t=k2,若函数f(x),g(x)在区间(0,+∞)上单调性相同,求k的取值范围;
(Ⅱ)是否存在正实数k,都能找到t∈[1,2],使得关于x的方程f(x)=g(x)在[1,5]上有且仅有一个实数根,且在[-5,-1]上至多有一个实数根.若存在,请求出所有k的值的集合;若不存在,请说明理由.
分析:(Ⅰ)先求出函数g(x)的导数,利用f(x),g(x)在区间(0,+∞)上单调性相同,建立一个条件方程,然后求k的取值范围.
(Ⅱ)利用f(x)=g(x),构造新函数h(x)=f(x)-g(x)=kx3+x2-t,然后求导,利用导数研究函数根的分布情况.
解答:解:(Ⅰ) (1)当k>0时,因为f(x)=kx在(0,+∞)上单调递增,…(1分)
所以g(x)=
t
x2
-1
在(0,+∞)上单调递增.
但在(0,+∞)上g′(x)=-
2t
x3
=-
2k2
x3
<0
,所以不符合已知;…(3分)
(2)因为在(0,+∞)上g′(x)=-
2t
x3
=-
2k2
x3
<0
,所以g(x)=
t
x2
-1
在(0,+∞)上单调递减.
所以f(x)=kx在(0,+∞)上单调递减,则k<0,即 k的取值范围是(-∞,0).…(6分)
(Ⅱ)解:因为f(x)=g(x)?kx3+x2-t=0.   …(7分)
设h(x)=kx3+x2-t,所以h′(x)=3kx2+2x=0⇒x=0或-
2
3k

因为k>0,所以h(x)在(-∞,-
2
3k
)↑,(-
2
3k
,0)↓,(0,+∞)↑

而h(0)=-t<0,所以h(x)=0在[1,5]上至多一个实数根,在[-5,-1]上至多
有二个实数根.                         …(9分)
(1)由于k>0,要能找到t∈[1,2],使得关于x的方程h(x)=0在[1,5]上有且仅有一个实数根,必须存在t∈[1,2],使得:
h(1)≤0
h(5)≥0
?
k≤t-1
125k≥t-25
?0<k≤1
;          …(11分)
(2)因为“能找到t∈[1,2],使得关于x的方程h(x)=0在[-5,-1]上至多有一个实数
根”的反面是“对任意的t∈[1,2],使得关于x的方程h(x)=0在[-5,-1]上恰有
二个实数根”,即反面?对任意的t∈[1,2],下列不等式组成立.
-5≤-
2
3k
≤-1
h(-5)≤0
h(-1)≤0
h(-
2
3k
)>0
?
24
125
≤k<
6
9
.…(13分)
因为k>0,所以,“能找到t∈[1,2],使得关于x的方程h(x)=0在[-5,-1]上至
多有一个实数根”?0<k<
24
125
6
9
≤k<+∞
.…(14分)
由(1)(2)同时成立得:0<k<
24
125
6
9
≤k≤1

所以,存在正实数k符合要求,所有k的值的集合为:
{k|0<k<
24
125
6
9
≤k≤1
}.    …(15分)
(直接讨论、或讨论函数f(x)=kx,g(x)=
t
x2
-1
的图象的关系或变量分离转化
为三次函数讨论,请酌情给分)
点评:本题考查利用导数研究函数的性质,对应两个函数的相等问题,则一般需要构造新函数去研究.
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1
e
2
1
+
1
e
2
2
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1
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