Question

在平面直角坐标系下，已知A（2，0），B（0，2），C（cos2x，sin2x），（0＜x＜

π

2

），f(x)=

AB

•

AC

．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期和值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据A和B的坐标分别表示出

AB

和

AC

，利用平面向量的数量积的运算法则化简f(x)=

AB

•

AC

后，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把f（x）化为一个角的正弦函数，得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据第一问求出的f（x）的解析式，利用周期公式T=

2π

λ

即可求出f（x）的最小正周期，然后根据x的范围求出2x-

π

4

的范围，根据正弦函数的图象即可得到sin（2x-

π

4

）的范围，进而得到函数f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）依题意得

.

AB

=  (-2，2)，

.

AC

=(cos2x-2，sin2x)，
∴f(x)= 

.

AB•

.

AC

 =(-2，2)•(cos2x-2，sin2x)
=4-2cos2x+2sin2x
=2

2

sin(2x-

π

4

)+4；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=2

2

sin(2x-

π

4

)+4，
所以f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，
∵0＜X＜

π

2

∴-

π

4

＜2X-

π

4

＜

3π

4

，
∴-

2

2

＜sin(2x-

π

4

)≤1，
∴2＜f(x)≤4+2

2

，
所以函数f（x）的值域是(2，4+2

2

]．

点评：此题考查学生灵活运用平面向量数量积的运算法则化简求值，灵活运用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，掌握正弦函数的周期公式及正弦函数的值域，是一道综合题．