Question

（本小题满分15分）已知函数．
（1）当时，求在最小值；
（2）若存在单调递减区间，求的取值范围；
（3）求证：（）．

Answer 1

(1)；（2）；（3）详见解析.

试题分析：(1)由求导判的函数在上单调递增，可求函数的最小值；（2）因存在单调递减区间，所以有正数解，再分类讨论对类一元二次函数存在正解进行讨论.（3）利用数学归纳法进行证明即可.
试题解析：（1），定义域为．
，                       
在上是增函数．
.
（2）  因为
因为若存在单调递减区间，所以有正数解.
即有的解 
①      当时，明显成立 .
②当时，开口向下的抛物线，总有的解；
③当时，开口向上的抛物线，
即方程有正根.
因为，
所以方程有两正根.
当时，；                       ……… 4分
，解得．                             
综合①②③知：．                                      ……… 9分
（3）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．
令，则有，   ．
，
．                                ……… 15分
(法二)当时，．
，，即时命题成立．
设当时，命题成立，即．
时，．
根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．
令，则有，
则有，即时命题也成立．
因此，由数学归纳法可知不等式成立．                           ……… 15分