Question

【题目】三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（ ）
A.48π
B.12π
C.4 π
D.32 π

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，∴△PAB≌△PAC≌△PBC
∵PA⊥PB，
∴PA⊥PC，PB⊥PC
以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图
则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．
∵长方体的对角线长为 =2 ，
∴球直径为2 ，半径R= ，
因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×（ ）2=12π
故选：B．

证明PA⊥PC，PB⊥PC，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．