Question

11．已知f（x）=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$，请用 f（x），f（y）表示f（x+y）．

Answer 1

分析 先求出a^2x=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，a^2y=$\frac{1+f（y）}{1-f（y）}$，代入f（x+y）整理即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$=$\frac{{a}^{2x}-1}{{a}^{2x}+1}$，
∴（a^2x+1）f（x）=a^2x-1，
∴a^2x=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$
而f（y）=$\frac{{a}^{y}{-a}^{-y}}{{a}^{x}{+a}^{-y}}$=$\frac{{a}^{2y}-1}{{a}^{2y}+1}$，
同理a^2y=$\frac{1+f（y）}{1-f（y）}$，
∴f（x+y）
=$\frac{{a}^{2（x+y）}-1}{{a}^{2（x+y）}+1}$
=$\frac{{a}^{2x}{•a}^{2y}-1}{{a}^{2x}{•a}^{2y}+1}$
=$\frac{\frac{1+f（x）}{1-f（x）}•\frac{1+f（y）}{1-f（y）}-1}{\frac{1+f（x）}{1-f（y）}•\frac{1+f（y）}{1-f（y）}+1}$
=$\frac{[1+f（x）][1+f（y）]-[1-f（x）][1-f（y）]}{[1+f（x）][1+f（y）]+[1-f（x）][1-f（y）]}$
=$\frac{2f（x）+2f（y）}{2+2f（x）f（y）}$
=$\frac{f（x）+f（y）}{1+f（x）f（y）}$．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，求出a^2x=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，a^2y=$\frac{1+f（y）}{1-f（y）}$，代入f（x+y）整理是解题的关键．