Question

3．求f（x）=x-2lnx-$\frac{a（2-a）}{x}$+a²-1的单增区间．

Answer 1

分析 先求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，从而得到函数的单调区间即可．

解答 解：函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=1-$\frac{2}{x}$+$\frac{a（2-a）}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+a-2）（x-a）}{{x}^{2}}$，（x＞0），
①a≤0时：令f′（x）＞0，解得：x＞2-a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2-a，
∴f（x）在（0，2-a）递减，在（2-a，+∞）递增；
②0＜a＜1时：令f′（x）＞0，解得：x＞2-a，或x＜a，令f′（x）＜0，解得：a＜x＜2-a，
∴f（x）在（a，2-a）递减，在（0，a），（2-a，+∞）递增；
③1≤a＜2时：令f′（x）＞0，解得：x＞a或x＜2-a，令f′（x）＜0，解得：2-a＜x＜a，
∴f（x）在（2-a，a）递减，在（0，2-a），（a，+∞）递增；
④a≥2时：令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：x＜a，
∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．