Question

13．已知函数f（x）=asin（2x+$\frac{π}{3}$）+1（a＞0）的定义域为R，若当-$\frac{7π}{12}$≤x≤-$\frac{π}{12}$时，f（x）的最大值为2．（1）求a的值；     
（2）试用五点法作出该函数在一个周期闭区间上的图象；
（3）求出该对称中心的坐标和对称轴的方程．

Answer 1

分析 （1）由-$\frac{7π}{12}$≤x≤-$\frac{π}{12}$可得-1≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{1}{2}$，结合题意可得$\frac{1}{2}$a+1=2，解方程即可；
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1，列表描点可得图象；
（3）由2x+$\frac{π}{3}$=kπ可得对称中心；由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得对称轴．

解答 解：（1）∵-$\frac{7π}{12}$≤x≤-$\frac{π}{12}$，∴-$\frac{7π}{6}$≤2x≤-$\frac{π}{6}$，
∴-$\frac{5π}{6}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{6}$，∴-1≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最大值为$\frac{1}{2}$a+1=2，解得a=2；
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
列表可得

2x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
y	1	3	1	-1	1

描点可作出函数图象如下：

（3）由2x+$\frac{π}{3}$=kπ可得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，∴对称中心为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，1）k∈Z；
由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，∴对称轴为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数图象的对称性，属基础题．