Question

3．集合A={x|log_a（x²-x-2）＜2}
（1）如果a=2，求A．
（2）如果$\frac{9}{4}$∉A，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）a=2时，解对数不等式log₂（x²-x-2）＜2即可；
（2）由$\frac{9}{4}$∉A，得出log_a[${（\frac{9}{4}）}^{2}$-$\frac{9}{4}$-2]≥2，求出a的取值范围即可．

解答 解：（1）a=2时，A={x|log₂（x²-x-2）＜2}
={x|0＜x²-x-2＜4}
={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}；
（2）∵$\frac{9}{4}$∉A，∴log_a[${（\frac{9}{4}）}^{2}$-$\frac{9}{4}$-2]≥2，
即log_a$\frac{13}{16}$≥2；
∵log_a$\frac{13}{16}$≥2=log_aa²，
∴0＜a＜1时，$\frac{13}{16}$≤a²，解得$\frac{\sqrt{13}}{4}$≤a＜1；
a＞1时，$\frac{13}{16}$≥a²，此时a∈∅； 
综上，a的取值范围是[$\frac{\sqrt{13}}{4}$，1）．

点评 本题考查了利用对数函数的图象与性质解不等式的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是基础题目．