Question

15．下列若干命题中，正确命题的序号是①③．
①“a=3”是直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a-l）y-a+7=0平行的充分不必要条件；
②△ABC中，若acosA=bcos B，则该三角形形状为等腰三角形；
③两条异面直线在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线；
④函数y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）sin（$\frac{π}{6}$-2x）的最小正周期是π．

Answer 1

分析 ①当a=1时，两条直线不平行；当a≠1时，两条直线分别化为：$y=-\frac{a}{2}x-a$，$y=\frac{3}{1-a}x$+$\frac{a-7}{a-1}$，两条直线平行的充要条件为：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}=\frac{3}{1-a}}\\{-a≠\frac{a-7}{a-1}}\end{array}\right.$，解出a即可判断出正②由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，化为sin2A=sin2B，可得A=B，或A+B=$\frac{π}{2}$，即可判断出三角形的形状；
③利用正方体相互为异面直线的棱所在直线即可判断出投影的位置关系；
④利用诱导公式与倍角公式可得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）sin（$\frac{π}{6}$-2x）=$\frac{1}{2}sin（4x+\frac{2π}{3}）$，其最小正周期是$\frac{2π}{4}$，即可判断出正误．

解答 解：①当a=1时，两条直线不平行；当a≠1时，两条直线分别化为：$y=-\frac{a}{2}x-a$，$y=\frac{3}{1-a}x$+$\frac{a-7}{a-1}$，∴两条直线平行的充要条件为：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}=\frac{3}{1-a}}\\{-a≠\frac{a-7}{a-1}}\end{array}\right.$，解得a=3或a=-2，∴“a=3”是直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a一l）y-a+7=0平行的充分不必要条件，正确；
②△ABC中，若acosA=bcosB，由正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，化为sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B，2A=π-2B，解得A=B，或A+B=$\frac{π}{2}$．
则该三角形形状为等腰三角形或直角三角形，因此不正确；
③利用正方体相互为异面直线的棱所在直线可得：两条异面直线在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线，正确；
④函数y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）sin（$\frac{π}{6}$-2x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）（$cos[\frac{π}{2}-（\frac{π}{6}-2x）]$=$\frac{1}{2}sin（4x+\frac{2π}{3}）$，其最小正周期是$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，因此不正确．
综上正确的命题为：①③．
故答案为：①③．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、直线的平行充要条件、正弦定理、异面直线的性质、倍角公式等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．