Question

6．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D为线段BC上-点．
（1）若BD=2DC，求$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$；
（2）若点O为三角形的重心，求$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$；
（3）若D为线段上动点，求$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可根据余弦定理求出$BC=\sqrt{7}$，从而得出BD=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$，DC=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，可设AD=x，从而在△ABD和△ADC中，分别用余弦定理可求出cos∠ADB和cos∠ADC，从而根据cos∠ADB=-cos∠ADC即可求出x，从而求出cos∠ADB，这样根据向量数量积的计算公式即可得出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$；
（2）O为三角形的重心时，便可让D为BC边的中点，从而上面的BD=2DC，就变成了BD=DC，这样求$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$的过程同上面一样了，即把上面的BD，DC的长度换成$\frac{\sqrt{7}}{2}$即可；
（3）当D为线段BC上的动点时，可设BD=kBC，0≤k≤1，从而得出BD=$\sqrt{7}k$，DC=$\sqrt{7}（1-k）$，这样将上面的BD，DC的值换成现在的值，即可用k表示出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$，从而由k的范围即可得出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$的范围．

解答 解：（1）在△ABC中，由余弦定理得：$B{C}^{2}=4+1-4•（-\frac{1}{2}）=7$，∴$BC=\sqrt{7}$；
∵BD=2DC；
∴$BD=\frac{2\sqrt{7}}{3}$，$DC=\frac{\sqrt{7}}{3}$；
设AD=x，则由余弦定理：cos$∠ADB=\frac{{x}^{2}+\frac{28}{9}-4}{2x•\frac{2\sqrt{7}}{3}}$，cos$∠ADC=\frac{{x}^{2}+\frac{7}{9}-1}{2x•\frac{\sqrt{7}}{3}}$；
∴$\frac{{x}^{2}+\frac{28}{9}-4}{2x•\frac{2\sqrt{7}}{3}}=-\frac{{x}^{2}+\frac{7}{9}-1}{2x•\frac{\sqrt{7}}{3}}$；
解得$x=\frac{2}{3}$；
∴$cos∠ADB=\frac{\frac{4}{9}+\frac{28}{9}-4}{\frac{4}{3}•\frac{2\sqrt{7}}{3}}=-\frac{\sqrt{7}}{14}$；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{BC}|cos∠ADB$=$\frac{2}{3}×\sqrt{7}×（-\frac{\sqrt{7}}{14}）=-\frac{1}{3}$；
（2）设D为BC的中点，则BD=DC=$\frac{\sqrt{7}}{2}$；
同样设AD=x，则：$\frac{{x}^{2}+\frac{7}{4}-4}{2x•\frac{\sqrt{7}}{2}}=-\frac{{x}^{2}+\frac{7}{4}-1}{2x•\frac{\sqrt{7}}{2}}$；
解得$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$AO=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴$cos∠ADB=\frac{\frac{3}{4}+\frac{7}{4}-4}{\sqrt{3}•\frac{\sqrt{7}}{2}}=-\frac{\sqrt{21}}{7}$；
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{7}×（-\frac{\sqrt{21}}{7}）=-1$；
（3）若D为动点，设AD=x，BD=kBC=$\sqrt{7}k$，（0≤k≤1），DC=$\sqrt{7}（1-k）$；
则：$\frac{{x}^{2}+7{k}^{2}-4}{2x•\sqrt{7}k}=-\frac{{x}^{2}+7（1-k）^{2}-1}{2x•\sqrt{7}（1-k）}$；
解得x²=7k²-10k+4，$x=\sqrt{7{k}^{2}-10k+4}$；
∴$cos∠ADB=\frac{7{k}^{2}-10k+4+7{k}^{2}-4}{2\sqrt{7{k}^{2}-10k+4}•\sqrt{7}k}$；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=\sqrt{7{k}^{2}-10k+4}•\sqrt{7}$$•\frac{7{k}^{2}-10k+4+7{k}^{2}-4}{2\sqrt{7{k}^{2}-10k+4}•\sqrt{7}k}$=7k-5；
∴①k=0时，D与B重合，由余弦定理得cos∠ABC=$\frac{4+7-1}{4\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{14}$；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}•（-cos∠ABC）$=$2\sqrt{7}•（-\frac{5\sqrt{7}}{14}）=-5$；
②0＜k≤1时，-5＜7k-5≤2；
∴$-5≤\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}≤2$；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$的取值范围为[-5，2]．

点评 考查余弦定理，向量数量积的计算公式，这三问中点D的位置不同，而解决问题的方法和过程一样，三角形重心的性质．