Question

16．已知${（\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}）^n}（n∈{N^*}）$的展开式中的二项式系数之和为2⁸，
（1）求n；
（2）求展开式各项系数的和；
（3）求展开式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的项．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二项式系数的性质求得n的值．
（2）在二项式中，令x=1，可得展开式各项系数的和．
（3）二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于$\frac{3}{2}$，求得r的值，可得展开式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的项．

解答 解：（1）由题意二项式系数之和为2⁸，可得n=8．
 （2）令x=1，可得各项系数和为1，
（3）二项展开式的通项公式为 ${T_{k+1}}=C_8^k{（\sqrt{x}）^{8-k}}{（-\frac{2}{x^2}）^k}={（-1）^k}{2^k}C_8^k{x^{\frac{8-5k}{2}}}$，令8-5k=3，求得k=1，
故展开式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的项为${T_2}=-2C_8^1{x^{\frac{3}{2}}}=-16{x^{\frac{3}{2}}}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．