Question

21．设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

   （Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.

Answer 1

21．（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为

，整理得

      ①

    设是方程①的两个不同的根，

    ∴   ②

    且由N（1，3）是线段AB的中点，得

    

    解得k=－1，代入②得，的取值范围是（12，+∞）.

    于是，直线AB的方程为

    解法2：设则有

   

    依题意，

∵N（1，3）是AB的中点，∴

又由N（1，3）在椭圆内，∴

∴的取值范围是（12，+∞）.

直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0.

   （Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，

代入椭圆方程，整理得 

       ③

又设CD的中点为是方程③的两根，

∴

于是由弦长公式可得

  ④

将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得

  ⑤

同理可得

  ⑥

∵当时，.

假设存在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.

点M到直线AB的距离为

  ⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故当>12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上.

   （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：

A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|²=|CN|·|DN|，

即 = ( +d) (-d)⑧

由⑥式知，⑧式左边=

由④和⑦知，⑧式右边=-=

∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.)

解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,

∵CD垂直平分AB， ∴直线CD方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得

   ③

将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得

  ⑤

解③和⑤式可得  

不妨设

又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.

（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）.