Question

【题目】已知函数f（x）=sinωxcosωx+ cos2ωx﹣ （ω＞0），直线x=x1 ， x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为 ．
（1）求f（x）的表达式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间 上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，由题意知，最小正周期 ，又 ，所以ω=2，

∴ ．）

（2）解：将f（x）的图象向右平移个 个单位后，得到 y= = 的图象，

再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象， ．

令 ，∵ ，∴ ，g（x）+k=0，在区间 上有且只有一个实数解，

即函数y=g（x）与y=﹣k在区间 上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知 或﹣k=1

∴ ，或k=﹣1

【解析】（1）利用三角函数的恒等变换把函数f（x）的解析式化为 ，根据周期求出ω=2，从而得到 ．（2）将f（x）的图象向右平移个 个单位后，得到 y= = 的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到 的图象，可得 ，函数y=g（x）与y=﹣k在区间 上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可得实数k的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．