Question

设函数f(x)=

a

•

b

，其中向量

a

=(2cosx，1)，

b

=(cosx，

3

sin2x)．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；
（Ⅱ）△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且a²+b²-c²≥ab，求f（C）的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用数量积公式，再利用二倍角、辅助角公式将函数化简，从而可求函数f（x）的最小正周期，利用正弦函数的单调性，即可求得函数在[0，π]上单调递增区间；
（Ⅱ）根据a²+b²-c²≥ab，可得0＜C≤

π

3

，利用f(C)=2sin(2C+

π

6

)+1，即可求f（C）的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=2cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1，
∴函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π…（4分）
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），则-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ
∴函数在[0，π]上单调递增区间为[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]．      …（6分）
（Ⅱ）∵a²+b²-c²≥ab，∴cosC≥

1

2

∵0＜C＜π，∴0＜C≤

π

3

…（9分）
∵f(C)=2sin(2C+

π

6

)+1，∴

π

6

＜2C+

π

6

≤

5π

6

∴当C=

π

6

时，f（C）_max=3，当C=

π

3

时，f（C）_min=2
∴f（C）∈[2，3]…（12分）

点评：本题考查向量的数量积，考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查余弦定理的运用，属于中档题．