Question

已知有两个数列{a_n}，{b_n}，它们的前n项和分别记为S_n，T_n，且数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，S_m=26，前m项中数值最大的项的值为18，S_2m=728，又
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（II）若数列{c_n}满足c_n=b_na_n，求数列{c_n}的前n项和P_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）数列{a_n}，建立数列{a_n}中关于首项a_{1 ^和公比}q的方程组，解方程组得数列{a_n}的通项公式（但不要忘记对公比为q是否等于1的讨论），利用求出数列{b_n}的通项公式；
（2）可直接利用错位相减法求数列{c_n}的前n项和P_n
解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a_n＞0，∴q＞0
若q=1时  S_m=ma₁S_2m=2ma₁，此时2S_m=S_2m，而已知  S_m=26，S_2m=728，∴2S_m≠S_2m，∴q=1不成立…（1分）
若q≠1，由得 …（2分）
（1）÷（2）得：1+q^m=28∴q^m=27…（3分）
∵q^m=27＞1∴q＞1   
∴前m项中a_m最大∴a_m=18…（4分）
由 得，∴    即
把及q^m=27代入（1）式得   
解得q=3  
 把q=3代入得a₁=2，所以 …（7分）
由
（1）当n=1时 b₁=T₁=2
（2）当 n≥2时 =4n-2
∵b₁=2适合上式∴b_n=4n-2…（9分）
（Ⅱ）由（1）得 
记，d_n的前n项和为Q_n，显然P_n=4Q_n…①∴…..②
…（11分）
①-②得：-2Q_n=1+2×3¹+2×3²+2×3³+…2×3^n-1-（2n-1）×3ⁿ
==-2-（2n-2）×3ⁿ…（13分）
∴，
即…（14分）
点评：本题是一道很好的数列综合题，是历年高考中常考的一类数列题．对解题方法的熟练应用要求较高．