Question

已知函数，若数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N₊）且对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m-n）（a_m-a_n）＞0，那么实数a的取值范围是（ ）
A．[，3）
B．（，3）
C．（2，3）
D．（1，3）

Answer 1

【答案】分析：由函数f（x）=，数列a_n满足a_n=f（n）（n∈N^*），且对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m-n）（a_m-a_n）＞0，我们得函数f（x）=为增函数，根据分段函数的性质，我们得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得a＞1，且3-a＞0，且f（7）＜f（8），由此构造一个关于参数a的不等式组，解不等式组即可得到结论．
解答：解：∵对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m-n）（a_m-a_n）＞0，
∴数列{a_n}是递增数列，
又∵f（x）=，
a_n=f（n）（n∈N^*），
∴1＜a＜3且f（7）＜f（8）
∴7（3-a）-3＜a²
解得a＜-9，或a＞2
故实数a的取值范围是（2，3）
故选C．
点评：本题考查的知识点是分段函数，其中根据分段函数中自变量n∈N^*时，对应数列为递增数列，得到函数在两个段上均为增函数，且f（7）＜f（8），从而构造出关于变量a的不等式是解答本题的关键．