Question

已知函数y=f（x）的图象经过坐标原点，且f′（x）=2x-1，数列{a_n}的前n项和Sn=f(n)(n∈N*)．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}满足a_n+log₃n=log₃b_n，求数列{b_n}的前n项和．
（III）若正数数列{cn}满足{cn}n+1=

(n+1)an+1

2n

(n∈N*)，求数列{lncn}中的最大值．

Answer 1

分析：（I）由f'（x）与f（x）的图象过原点，可得f（x）解析式，即s_n的表达式，从而得a_n；
（Ⅱ）由a_n+log₃n=log₃b_n得b_n，用错位相减法求前n项和T_n
（III）由题中条件得数列{lnc_n}的通项公式，构造函数，利用导数法求出最大值．

解答：解：（I）由f'（x）=2x-1得：f（x）=x²-x+b（b∈R），
∵y=f（x）的图象过原点，∴f（x）=x²-x，
∴s_n=n²-n，∴当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=（n²-n）-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2，
又∵a₁=S₁=0，满足a_n，
所以，数列{an}的通项公式为an=2n-2(n∈N*)；
（II）由a_n+log₃n=log₃b_n得：b_n=n•3^2n-2（n∈N^*）
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…b_n=3⁰+2•3²+3•3⁴+…+n•3^2n-2…①
∴9Tn=32+2•34+3•36+…+n•32n…②
②-①得：8Tn=n•32n-(1+32+34+36+…+32n-2)=n•32n-

32n-1

8

∴Tn=

n•32n

8

-

32n-1

64

=

(8n-1)32n+1

64

（III）由(cn)n+1=

(n+1)an+1

2n

(n∈N*)知：lncn=

ln(n+1)

n+1

，
令f(x)=

lnx

x

，则f′(x)=

1 x •x-lnx

x2

=

1-lnx

x2

；
∴在区间（0，e）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，在区间（e，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数，
∵2＜e＜3，∴n≥3（n∈N^*）时，{lnc_n}是递减数列，n≤2（n∈N^*）时，{lnc_n}是递增数列；
又lnc₂＞lnc₃，
所以，数列{lncn}中的最大项为lnc2=

ln3

3

．

点评：本题考查了数列与函数知识的综合应用，也考查了一定的运算能力，是比较容易出错的题目．