Question

已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．
（1）求∠AED的余弦值．
（2）若BD=10，求△ABC的面积．

Answer 1

解：（1）连接DM
∵DE是半圆C的直径，∴∠DME=90°
∵FE：FD=4：3，∴可设FE=4x，则FD=3x，∴DE=5x
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC
∵∠B=∠CAE
∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE
∵∠ADE=∠BAD+∠B
∴∠ADE=∠DAE
∴EA=ED
∵DE是半圆C的直径
∴∠DFE=90°
∴AF=DF
∴AE=DE=5x，AF=FD=3x
∵AF•AD=AM•AE
∴3x（3x+3x）=AM•5x
∴AM=
∴ME=AE-AM=5x-=
∴cos∠AED=；
（2）过A点作AN⊥BE于N
∵cos∠AED=，∴sin∠AED=，∴AN=AE=
在△CAE和△ABE中
∵∠CAE=∠B，∠AEC=∠BEA
∴△CAE∽△ABE
∴=
∴AE²=BE•CE
∴（5x）²=（10+5x）•x
∴x=2
∴AN=
又BC=BD+DC=10+5=15
∴S_△ABC=BC•AN==72．
分析：（1）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可以求出；
（2）根据△ABC的面积公式求出BC，AN的长是关键，根据题意由三角函数及相似比即可求出．
点评：本题考查相似三角形的判定，切割线定理，勾股定理，考查三角形面积的计算，属于中档题．