Question

17．已知函数f（x）=2^x+$\frac{m}{{2}^{x}}$（m∈R）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（3）对任意的x∈R，若不等式f（x²-4x-k）+$\frac{3}{2}$＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接由f（0）=0求得m值，然后代入函数解析式验证函数为奇函数；
（2）直接由函数单调性的定义证明函数为增函数；
（3）把不等式变形，得到f（x²-4x-k）＞-$\frac{3}{2}$=f（1），然后利用函数的单调性转化为关于x的不等式，分离参数k后利用配方法求得答案．

解答 （1）解：函数f（x）=2^x+$\frac{m}{{2}^{x}}$的定义域为R，且函数为奇函数，则f（0）=${2}^{0}+\frac{m}{{2}^{0}}=0$，即m=-1．
此时f（x）=${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$，由f（-x）=${2}^{-x}-\frac{1}{{2}^{-x}}=\frac{1}{{2}^{x}}-{2}^{x}=-（{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}）=-f（x）$，可得函数f（x）为奇函数；
（2）证明：设x₁，x₂是（-∞，+∞）上的任意两个实数，且x₁＞x₂，
则$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={2}^{{x}_{1}}-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}-{2}^{{x}_{2}}+\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$=${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}+\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$
=$（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）（1+\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}）$．
∵x₁＞x₂，∴${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＞0，1+\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}＞0$，
则$（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{1}}）（1+\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}）$＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（3）由f（x²-4x-k）+$\frac{3}{2}$＞0，得f（x²-4x-k）＞-$\frac{3}{2}$=f（1），
又由（2）知，f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
∴x²-4x-k＞1恒成立，即k＜x²-4x-1恒成立，
由x²-4x-1=（x-2）²-5≥-5．
∴k＜-5．
∴实数k的取值范围是（-∞，-5）．

点评 本题考查了函数的性质，考查了函数性质的应用，训练了函数恒成立问题，训练了利用配方法求最值，是中档题．