Question

如图，在平面直角坐标系中，已知动点P（x，y），PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，

OP

•

MN

=4．
（1）求动点P的轨迹W的方程；
（2）若点Q的坐标为（2，0），A、B为W上的两个动点，且满足QA⊥QB，点Q到直线AB的距离为d，求d的最大值．

Answer 1

分析：（1）设出设点P的坐标，根据条件列方程，化简．
（2）设出A、B的坐标，当AB⊥x轴时，求出Q点到直线AB的距离，当AB斜率存在，设直线AB的方程，代入双曲线方程，使用根与系数的关系及题中条件，先求出AB斜率，再求出Q点到直线AB的距离的表达式，判断距离的最大值．

解答：解：（1）设点P（x，y），由已知M（0，y），N（x，-y）  （2分）
则

OP

•

MN

=(x，y)•(x，-2y)=x2-2y2=4，即

x2

4

-

y2

2

=1（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如图，由QA⊥QB可得

QA

•

QB

=(x1-2，y1)•(x2-2，y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0（5分）

①若直线AB⊥x轴，则x₁=x₂，|y1|=|y2|=

x 2 1 -4 2

此时(x1-2)(x2-2)+y1y2=(x1-2)2-

x 2 1 -4

2

=0，
则x₁²-8x₁+12=0，解之得，x₁=6或x₁=2
但是若x₁=2，则直线AB过Q点，不可能有QA⊥QB
所以x₁=6，此时Q点到直线AB的距离为4（7分）
②若直线AB斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+m，则

y=kx+m x2-2y2=4

?（2k²-1）x²+4kmx+2m²+4=0
则

2k2-1≠0 △=16k2m2-4(2k2-1)(2m2+4)＞0

，即

2k2-1≠0 m2-4k2+2＞0

又x1+x2=-

4km

2k2-1

，x1x2=

2m2+4

2k2-1

（9分）
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=

2k2m2+4k2

2k2-1

-

4k2m2

2k2-1

+

2k2m2-m2

2k2-1

=

4k2-m2

2k2-1

∴

QA

•

QB

=(x1-2，y1)•(x2-2，y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2
=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂
=

2m2+4

2k2-1

+

8km

2k2-1

+

8k2-4

2k2-1

+

4k2-m2

2k2-1

=0
则m²+8km+12k²=0，可得m=-6k或m=-2k
若m=-2k，则直线AB的方程为y=k（x-2），此直线过点Q，这与QA⊥QB矛盾，舍
若m=-6k，则直线AB的方程为y=kx-6k，即kx-y-6k=0（12分）
此时若k=0，则直线AB的方程为y=0，显然与QA⊥QB矛盾，故k≠0
∴d=

|-4k|

k2+1

=

4

1+ 1 k2

＜4（13分）
由①②可得，d_max=4（14分）

点评：本题考查轨迹方程的求法及直线与双曲线位置关系的综合应用．