【题目】已知函数, .
(1)若函数有三个不同的极值点,求的值;
(2)若存在实数,使对任意的,不等式恒成立,求正整数的最大值.
【答案】(Ⅰ)的取值范围是;(Ⅱ)正整数的最大值为5.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出的导函数, 有3个极值点等价于方程有3个根;令,根据的单调性可知有3个零点,则,解出的取值范围即可;(Ⅱ)不等式,即,分离参数得.
转化为存在实数,使对任意的,不等式恒成立;构造新函数,确定单调性,计算相应函数值的正负,即可求正整数的最大值.
试题解析:(Ⅰ)
∵有3个极值点,∴有3个根
令
在上递增, 上递减.
∴有3个零点,∴,∴
(Ⅱ)不等式,即,即.
转化为存在实数,使对任意的,
不等式恒成立.
即不等式在上恒成立.
即不等式在上恒成立
设,则.
设,则,因为,有.
故在区间上是减函数;
又
故存在,使得.
当时,有,当时,有.
从而在区间上递增,在区间上递减
又,
.
所以当时,恒有;当时,恒有;
故使命题成立的正整数的最大值为5.
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【题目】(Ⅰ)设f(x)= ,求f(1+log23)的值;
(Ⅱ)已知g(x)=ln[(m2﹣1)x2﹣(1﹣m)x+1]的定义域为R,求实数m的取值范围.
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【题目】假设关于某设备的使用年限x和支出的维修费用y(万元),有如下表的统计资料:
使用年限x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
维修费用y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若由资料知y对x呈线性相关关系,试求:
(1)线性回归方程 .
(2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少.
(3)计算总偏差平方和、残差平方和及回归平方和.
(4)求 并说明模型的拟合效果.
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【题目】【选修4—4:坐标系与参数方程】
将圆上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(Ⅰ)写出C的参数方程;
(Ⅱ)设直线与C的交点为,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.
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【题目】已知圆内接△ABC中,D为BC上一点,且△ADC为正三角形,点E为BC的延长线上一点,AE为圆O的切线.
(1)求∠BAE 的度数;
(2)求证:
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【题目】已知等差数列{an}的公差d>0,其前n项和为Sn , 若S3=12,且2a1 , a2 , 1+a3成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn= (n∈N*),且数列{bn}的前n项和为Tn , 证明: ≤Tn< .
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