【题目】已知函数有两个不同的零点.
(1)求的取值范围;
(2)记两个零点分别为,且
,已知
,若不等式
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)方程在
有两个不同跟等价于函数
与函数
的图像在
上有两个不同交点,对
进行求导,通过单调性画出
的草图,由
与
有两个交点进而得出
的取值范围; (Ⅱ)分离参数得:
,从而可得
恒成立;再令
,从而可得不等式
在
上恒成立,再令
,从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可.
试题解析:(I)依题意,函数的定义域为
,
所以方程在
有两个不同跟等价于函数
与函数
的图像在
上有两个不同交点.
又,即当
时,
;当
时,
,
所以在
上单调递增,在
上单调递减.
从而.
又有且只有一个零点是1,且在
时,
,在
时,
,
所以的草图如下:
可见,要想函数与函数
在图像
上有两个不同交点,只需
.
(Ⅱ)由(I)可知分别为方程
的两个根,即
,
,
所以原式等价于.
因为,
,所以原式等价于
.
又由,
作差得,
,即
.
所以原式等价于.
因为,原式恒成立,即
恒成立.
令,则不等式
在
上恒成立.
令,则
,
当时,可见
时,
,所以
在
上单调递增,又
在
恒成立,符合题意;
当时,可见当
时,
;当
时,
,
所以在
时单调递增,在
时单调递减.
又,所以
在
上不能恒小于0,不符合题意,舍去.
综上所述,若不等式恒成立,只须
,又
,所以
.
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【题目】已知O、A、B三地在同一水平面内,A地在O地正东方向2km处,B地在O地正北方向2km处,某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点,用测绘仪进行测绘,O地为一磁场,距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不准确,则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( )
A.1-
B.
C.1-
D.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,且直线
经过曲线
的左焦点
.
(1)求直线的普通方程;
(2)设曲线的内接矩形的周长为
,求
的最大值.
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【题目】微信已成为人们常用的社交软件,“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数,同时也可以和好友进行运动量的或点赞.现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人(男、女各20人),记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下表:
步数 性别 | 0 | 2001 | 5001 | 8001 | >10000 |
男 | 1 | 2 | 4 | 7 | 6 |
女 | 0 | 3 | 9 | 6 | 2 |
若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”,否则被系统评定为“懈怠型”.
(1)利用样本估计总体的思想,试估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过10000步的概率;
(2)根据题意完成下面的列联表,并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
积极型 | 懈怠型 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
附:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】已知函数
(1)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求函数的极值;
(2)设函数.当
=
时,若区间[1,e]上存在x0,使得
,求实数
的取值范围.(
为自然对数底数)
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【题目】已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内的一点,直线m是以P为中点的弦所在直线,直线l的方程为ax+by=r2 , 那么( )
A.m∥l,且l与圆相交
B.m⊥l,且l与圆相切
C.m∥l,且l与圆相离
D.m⊥l,且l与圆相离
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