Question

【题目】已知等差数列{an}的公差d＞0，其前n项和为Sn ， 若S3=12，且2a1 ， a2 ， 1+a3成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn= （n∈N*），且数列{bn}的前n项和为Tn ， 证明： ≤Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，得 ，

即 ，得d2+d﹣12=0．

∵d＞0，∴d=3，a1=1．

∴数列{an}的通项公式an=1+3（n﹣1）=3n﹣2

（2）证明：∵ ，

前n项和为Tn= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）

= ×（1﹣ ）= ，

由Tn递增，可得Tn≥T1= ，

又Tn＜ ，则

【解析】（1）由等差数列的通项公式和等比数列的性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得bn= （ ﹣ ），再由数列的求和方法：裂项相消求和，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证．
【考点精析】掌握数列的前n项和是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．