Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，前n项的和是S_n满足：?n∈N^*都有：S_n=

1

2

（n+

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+b_n）³-1，其中数列{b_n}是公差为1的等差数列；
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

12

an-4

，求T_n=c₁+c₂+…+c_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据已知条件及a₁=S₁即可求出b₁=1-

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，所以bn=n-

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，代入已知的S_n即得Sn=4n3-1，所以n＞1时，an=Sn-Sn-1=4(3n2-3n+1)，并且验证n=1时是否符合通项a_n，即可得出数列{a_n}的通项公式：an=

3 n=1 4(3n2-3n+1) n＞1

；
（Ⅱ）根据已知的c_n可先求出c₁=-12，然后求出n＞1时的cn=

1

n-1

-

1

n

，所以求出Tn=c1+c2+…+cn=-11-

1

n

，并且验证n=1是否符合即可得出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由已知条件知：3=S1=

1

2

(1+

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+b1)3-1，
∴解得b1=1-

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；
∵数列{b_n}是公差为1的等差数列，
∴bn=1-

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+n-1=n-

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，
∴Sn=

1

2

(2n)3-1=4n3-1；
∴当n＞1时，an=Sn-Sn-1=4n3-1-4(n-1)3+1=4（3n²-3n+1）；
n=1带入上式得a₁=4不满足已知a₁=3；
∴an=

3 n=1 4(3n2-3n+1) n＞1

；
（Ⅱ）n=1时，c1=

12

3-4

=-12，
n＞1时，cn=

12

4(3n2-3n+1)-4

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=-12+1-

1

2

+…+

1

n-1

-

1

n

=-11-

1

n

；
n=1带入上式T₁=-12，即n=1符合T_n；
∴Tn=-11-

1

n

．

点评：考查数列的前n项和与通项a_n的关系，等差数列的通项公式，通过让前后项相互抵消的方法求数列前n项和．