Question

如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°．求证：BD⊥平面ADC．

Answer 1

分析：不妨设AD=BD=CD=1，则由题意可得AB=AC=

2

，AD⊥BD．根据

BD

•

AC

=（

AD

-

AB

）•

AC

=

AD

•

AC

-

AB

•

AC

，计算

AD

•

AC

=1，

AB

•

AC

=1，
可得

BD

•

AC

=0，即BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥平面ADC．

解答：证明：不妨设AD=BD=CD=1，则由题意可得AB=AC=

2

，AD⊥BD，AD⊥DC．故有

AD

•

DC

=0．
∵

BD

•

AC

=（

AD

-

AB

）•

AC

=

AD

•

AC

-

AB

•

AC

，
由于

AD

•

AC

=

AD

•（

AD

+

DC

）=

AD

•

AD

=1，

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cos 60°=

2

×

2

×

1

2

=1．
∴

BD

•

AC

=0，即BD⊥AC．
又已知AD∩AC=A，∴BD⊥平面ADC．

点评：本题主要考查证明直线和平面垂直的方法，两个向量数量积的运算，属于中档题．