Question

【题目】若函数f（x）=x2+ax﹣ 在（ ，+∞）是增函数，则a的取值范围（ ）
A.（﹣∞，3]
B.（﹣∞，﹣3]
C.[﹣3，+∞）
D.（﹣3，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由f（x）=x2+ax﹣ ，得f′（x）=2x+a+ = ， 令g（x）=2x3+ax2+1，
要使函数f（x）在（ ，+∞）是增函数，
则g（x）=2x3+ax2+1在x∈（ ，+∞）大于等于0恒成立，
g′（x）=6x2+2ax=2x（3x+a），
① 当a≥0时，g′（x）＞0恒成立，
∴g（x）在（ ，+∞）单调递增，
∴g（x）＞g（ ）= + ＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（ ，+∞）是增函数，满足条件；
②当﹣ ≤a＜0时，3x+a≥0，g′（x）≥0，
∴g（x）在（ ，+∞）单调递增，
∴g（x）＞g（ ）= + ＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（ ，+∞）是增函数，满足条件；
③a＜﹣ 时，令g′（x）＞0，解得：x＞﹣ ，令g′（x）＜0，解得： ＜x＜﹣ ，
∴g（x）在（ ，﹣ ）递减，在（﹣ ，+∞）递增，
∴g（x）min≥g（﹣ ）=2× +a +1≥0，
解得：a≥﹣3，此时f′（x）＞0，
∴f（x）在（ ，+∞）是增函数，满足条件；
综上：a≥﹣3；
所以答案是：[﹣3，+∞）．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．