Question

据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f（x）=Asin（ωx+φ）+B的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g（x）（x为月份），且满足g（x）=f（x-2）+2．
（1）分别写出该商品每件的出厂价函数f（x）、售价函数g（x）的解析式；
（2）问哪几个月能盈利？

Answer 1

分析：（1）由题意要建立形如：f（x）=Asin（ωx+φ）+B，的三角函数模型，则根据各参数的意义求解．
（2）要盈利的话则须售价高于出厂从，即由g（x）＞f（x），建立三角不等式sin

π

4

x＜

2

2

求解．

解答：解：（1）f（x）=Asin（ωx+φ）+B，由题意可得A=2，
B=6，ω=

π

4

，φ=-

π

4

，
所以f（x）=2sin（

π

4

x-

π

4

）+6（1≤x≤12，x为正整数），
g（x）=2sin（

π

4

x-

3

4

π）+8（1≤x≤12，x为正整数）．
（2）由g（x）＞f（x），得sin

π

4

x＜

2

2

．
2kπ+

3

4

π＜

π

4

x＜2kπ+

9

4

π，k∈Z，
∴8k+3＜x＜8k+9，k∈Z，
∵1≤x≤12，k∈Z，∴k=0时，3＜x＜9，
∴x=4，5，6，7，8；
k=1时，11＜x＜17，∴x=12．
∴x=4，5，6，7，8，12．
即其中4，5，6，7，8，12月份能盈利．

点评：本题主要考查三角函数实际应用模型，从根本上来考查f（x）=Asin（ωx+φ）+B，各参数的意义，同时还考查了三角不等式，求解时可选用三角函数线，也可选用三角函数的图象．