Question

10．已知在（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式中，前3项的系数之和为127．
（1）求n的值；
（2）求x^-3项的系数；
（3）求展开式中的所有整式项．

Answer 1

分析 （1）求得二项式展开式的通项公式，化简整理，求出前三项的系数，得出一个关于n的方程，解出n；
（2）求出（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）⁹的通项，令x的指数为-3，求出r，继而求出x^-3项的系数；
（3）令通项中x的指数为非负整数，求出符合条件的r，继而得出答案．

解答 解：（1）（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{n}^{r}$（$\sqrt{x}$）^n-r•（-$\frac{2}{x}$）^r
=${C}_{n}^{r}$（-2）^r•x${\;}^{\frac{n-3r}{2}}$，r=0，1，2，…，n，
由前3项的系数之和为127，
可得1+${C}_{n}^{1}$•（-2）+4${C}_{n}^{2}$=127，
化简得：n²-2n-63=0，
解得n=9或-7（舍），
所以n=9；
（2）由（1）可得T_r+1=${C}_{9}^{r}$（-2）^r${x}^{\frac{9-3r}{2}}$，r=0，1，2，…，9，
令$\frac{9-3r}{2}$=-3，解得r=5，
可得x^-3项的系数为${C}_{9}^{5}$（-2）⁵=-4032，
即为-4032；
（3）T_r+1=${C}_{9}^{r}$（-2）^r${x}^{\frac{9-3r}{2}}$，r=0，1，2，…，9，
令$\frac{9-3r}{2}$为非负整数，
所以r可取1，3．
所以展开式中的所有整式项为：T₂=-18x³，T₄=-84．

点评 本题考查了二项式定理的应用：求特定项或系数，注意运用通项公式，考查了运算能力，属于中档题．