Question

已知二次函数f（x）=ax²+4x+3a，且f（1）=0，求：
（1）函数f（x）零点的个数；
（2）函数f（x）在[t，t+1]上的最大值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（1）=0求得a=-1，可得 f（x）=-（x-1）（x-3），由此可得函数f（x）零点的个数．
（2）由于f（x）=-（x-2）²+1，它的图象的对称轴方程为x=2，再分对称轴在区间[t，t+1]左侧、右侧、中间三种情况，分别利用二次函数的性质求得它的最大值．
当t＞2时，函数f（x）在[t，t+1]上是减函数，函数的最大值为f（t）=-t²+4t+-3；
当t+1＜2时，函数f（x）在[t，t+1]上是增函数，函数的最大值为f（t+1）=-（t+1）²+4（t+1）-3=-t²+2t；
当2∈[t，t+1]时，函数的最大值

解答： 解：（1）∵二次函数f（x）=ax²+4x+3a，且f（1）=0，∴4a+4=1，∴a=-1，
∴f（x）=-x²+4x+-3=-（x-1）（x-3），故函数f（x）零点的个数为2．
（2）由于f（x）=-x²+4x+-3=-（x-2）²+1，它的图象的对称轴方程为x=2，
当t＞2时，函数f（x）在[t，t+1]上是减函数，函数的最大值为f（t）=-t²+4t+-3；
当t+1＜2时，函数f（x）在[t，t+1]上是增函数，函数的最大值为f（t+1）=-（t+1）²+4（t+1）-3=-t²+2t；
当2∈[t，t+1]时，函数的最大值为f（2）=1．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．